INTRODUCCION
Guillaume Grançoiw de I´Hôpital
(1661-1704), mas conocido como marques de I´Hôspital, fue un matemático
parisino conocido por la llamada Regla de I´Hôspital. Esta regla permite
el calculo de limites de fracciones en las que el numerador y denominador
tienden ambos al infinito o a cero. En realidad, la mencionada regla fue
demostrada por Johann Bernoulli (1667-1748), pero por un acuerdo entre
ambos, el descubrimiento lo publico el marqués en su obra Analyse des
infiniment petits pour I´intelligence des lignes courbes en 1996. Esta obra es
considerada el primer libro publicado sobre calculo diferencial. El acuerdo
secreto fue revelado por el propio Bernoulli, tras la muerte del marqués,
aseguro ser el verdadero autor de la mayoría de los resultados publicados por
I´Hôpital.
TEOREMA
Suponga que f y g son derivables y g´(x) =/ cerca de a
(excepto posiblemente en a). Suponga que:
En otras palabras, tenemos una
forma indeterminada del tipo 0/0 o ∞/∞.
Nota 1:
La regla del I´Hôpital dice
que el limite de un cociente de funciones es igual al limite del cociente de
sus derivadas, siempre que se satisfaga las condiciones dadas. Es especialmente
importante verificar las condiciones respecto a los limites de f y g de usar la
regla de I´Hospital. “ xàa”
puede ser sustituida por cualquiera de los símbolos x àa+ , x
àa-,
xà∞ o x à -∞.
Nota 3:
Para el caso especial en el
que f(a)=0,f´y g´ son continuas, y g´(a) =/0, es fácil ver por
que la Regla de I´Hôspital es verdadera. De hecho, usando la forma alternativa
de la definición de una derivada, tenemos:
SOLUCION NO.1
SOLUCION NO.2
Ejemplo No.2
Encuentre el limite de la siguiente función:
Ejemplo No.3
Encuentre el límite de la
siguiente función:
PRODUCTOS INDETERMINADOS
Si lim f(x)=0 y lim g(x)= ∞(o -∞), entonces no
esta claro cual será el valor del limite. Hay una lucha entre f y g. Si f
gana, el limite será 0; si g gana, la respuesta es un numero finito
diferente de cero. Esta clase de limite se denomina forma indeterminada del
tipo 0*∞. Podemos trabajar con el si escribimos el producto como cociente:
Ejemplo No.4
