La regla de la cadena

La Regla de la Cadena es una de las técnicas de derivadas más comunes aplicadas en Cálculo Diferencial (o Cálculo I). Se utiliza para derivar una composición de funciones. La regla de la cadena se puede demostrar usando uno de los pilares del cálculo, que son los límites.

La regla de la cadena y su fórmula

¿Qué es la regla de la cadena?

La regla de la cadena se define como la derivada de una composición de al menos dos tipos diferentes de funciones como:

$$𝑦\text{’}=\frac{𝑑}{𝑑𝑥}[𝑓(𝑔(𝑥))]$$

donde g(x) es un dominio de la función f(u).

También podemos llamar a la función f como la función externa y a la función g como la función interna. En esta composición, f(x) y g(x) deben ser dos tipos diferentes de funciones que no pueden evaluarse algebraicamente en un solo tipo de función.

Recuerda que una composición de funciones puede considerarse como una función dentro de otra función o como una función de otra función.

La fórmula de la regla de la cadena

La fórmula de la regla de la cadena se puede expresar verbalmente como la derivada de la función externa f multiplicada por la derivada de la función interna g. La función interna g es el dominio de la derivada de la función externa f.

La fórmula de la regla de la cadena se puede ilustrar como:

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}(𝑓(𝑔(𝑥)))=\frac{𝑑}{𝑑𝑥}(𝑓(𝑔(𝑥)))\cdot \frac{𝑑}{𝑑𝑥}(𝑔(𝑥))$$

donde derivamos f(g(x)) usando el método de derivada de la función f y usando g(x) como el dominio de la función f y luego multiplicando la derivada de la función f por la derivada de g(x).

En otra forma, también se puede ilustrar como:

$$\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}=\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑢}\cdot \frac{𝑑𝑢}{𝑑𝑥}$$

en donde

• $𝑓(𝑢)=$ la función externa
• $𝑢=𝑔(𝑥)$, el dominio de la función externa $𝑓(𝑢)$
• $\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑢}=$ la derivada de la función externa $𝑓(𝑢)$ en términos de $𝑢$
• $\frac{𝑑𝑢}{𝑑𝑥}=$ la derivada de la función interna $𝑔(𝑥)$ en términos de $𝑥$

Para obtener más información sobre la demostración de la regla de la cadena usando límites, visita nuestro artículo sobre la demostración de la regla de la cadena.

Cómo usar la regla de la cadena, 

Supongamos que tenemos que derivar

$𝐻(𝑥)=\sin ({𝑥}^3)$

Como puedes observar, esta función dada puede considerarse una función compuesta. Por lo tanto, podemos usar la fórmula de la regla de la cadena para derivar este problema.

1. Escribimos la fórmula de la regla de la cadena como referencia:

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}(𝐻(𝑥))=\frac{𝑑}{𝑑𝑥}(𝑓(𝑔(𝑥)))\cdot \frac{𝑑}{𝑥}(𝑔(𝑥))$$

Puedes usar cualquier forma de la fórmula de la regla de la cadena.

2. Identificar a las funciones externa e interna.

Si es que consideramos a la función interna como $𝑔(𝑥)=𝑢={𝑥}^3$, entonces

$𝑓(𝑔(𝑥))=𝑓(𝑢)$

$𝑓(𝑢)=\sin (𝑢)$

3. Aplicar la fórmula de la regla de la cadena.

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}𝐻(𝑥)=\frac{𝑑}{𝑑𝑢}(𝑓(𝑢))\cdot \frac{𝑑}{𝑑𝑥}(𝑔(𝑥))$$

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}𝐻(𝑥)=\frac{𝑑}{𝑑𝑢}(\sin (𝑢))\cdot \frac{𝑑}{𝑑𝑥}({𝑥}^3)$$

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}𝐻(𝑥)=(\cos (𝑢))\cdot (3{𝑥}^2)$$

4. Sustituye la función interna $𝑔(𝑥)=𝑢={𝑥}^3$ en la ecuación derivada:

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}𝐻(𝑥)=(\cos ({𝑥}^3))\cdot (3{𝑥}^2)$$

5. Simplifica la derivada obtenida:

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}𝐻(𝑥)=3{𝑥}^2\cdot \cos ({𝑥}^3)$$

${𝐻}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=3{𝑥}^2\cos ({𝑥}^3)$

EJEMPLO 1

Deriva la siguiente función:

$𝐻(𝑥)=(12𝑥+6{)}^{24}$

Solución

Paso 1: Escribe la fórmula de la regla de la cadena como referencia:

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}(𝐻(𝑥))=\frac{𝑑}{𝑑𝑥}(𝑓(𝑔(𝑥)))\cdot \frac{𝑑}{𝑥}(𝑔(𝑥))$$

Paso 2: Al reconocer las dos funciones, tenemos

Si es que $𝑔(𝑥)=𝑢=12𝑥+6$, entonces

$𝑓(𝑔(𝑥))=𝑓(𝑢)$

$𝑓(𝑢)={𝑢}^{24}$

Paso 3: Apliquemos ahora la fórmula de la regla de la cadena:

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}𝐻(𝑥)=\frac{𝑑}{𝑑𝑢}(𝑓(𝑢))\cdot \frac{𝑑}{𝑑𝑥}(𝑔(𝑥))$$

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}𝐻(𝑥)=\frac{𝑑}{𝑑𝑢}({𝑢}^{24})\cdot \frac{𝑑}{𝑑𝑥}(12𝑥+6)$$

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}𝐻(𝑥)=(24{𝑢}^{23})\cdot (12)$$

Paso 4: Sustituye la función interna $𝑔(𝑥)$ en la ecuación derivada:

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}𝐻(𝑥)=(24(12𝑥+6{)}^{23})\cdot (12)$$

Paso 5: Simplifica algebraicamente:

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}𝐻(𝑥)=288\cdot (12𝑥+6{)}^{23}$$

${𝐻}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=288(12𝑥+6{)}^{23}$

EJEMPLO 2

Encuentra la derivada de la función dada.

$𝑓(𝑥)=\sqrt[12]{6𝑥-3}$

Solución

Paso 1: Enumera la fórmula de la regla de la cadena como referencia:

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}(𝐻(𝑥))=\frac{𝑑}{𝑑𝑥}(𝑓(𝑔(𝑥)))\cdot \frac{𝑑}{𝑥}(𝑔(𝑥))$$

Paso 2: Si es que $𝑔(𝑥)=𝑢=6𝑥-3$, entonces

$𝑓(𝑔(𝑥))=𝑓(𝑢)$

$𝑓(𝑢)=\sqrt[12]{𝑢}$

$𝑓(𝑢)={𝑢}^{\frac{1}{12}}$

Paso 3: Apliquemos ahora la fórmula de la regla de la cadena:

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}𝐻(𝑥)=\frac{𝑑}{𝑑𝑢}(𝑓(𝑢))\cdot \frac{𝑑}{𝑑𝑥}(𝑔(𝑥))$$

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}𝐻(𝑥)=\frac{𝑑}{𝑑𝑢}({𝑢}^{\frac{1}{12}})\cdot \frac{𝑑}{𝑑𝑥}(6𝑥-3)$$

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}𝐻(𝑥)=\left(\frac{1}{12}{𝑢}^{-\frac{11}{12}}\right)\cdot (6)$$

Paso 4: Sustituye la función interna $𝑔(𝑥)=𝑢=6𝑥-3$ en la ecuación derivada:

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}𝐻(𝑥)=(\frac{1}{12}\cdot (6𝑥-3{)}^{-\frac{11}{12}})\cdot (6)$$

Paso 5: Simplifica algebraicamente:

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}𝐻(𝑥)=\frac{6}{12\cdot (6𝑥-3{)}^{\frac{11}{12}}}$$

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}𝐻(𝑥)=\frac{1}{2\cdot (6𝑥-3{)}^{\frac{11}{12}}}$$

$${𝐻}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=\frac{1}{2\sqrt[12]{(6𝑥-3{)}^{11}}}$$
en forma radical

EJEMPLO 3

Deriva la siguiente función:

$\cos (12{𝑥}^2+6𝑥-3)$

Solución

Paso 1: Empezamos con la fórmula de la regla de la cadena:

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}(𝐻(𝑥))=\frac{𝑑}{𝑑𝑥}(𝑓(𝑔(𝑥)))\cdot \frac{𝑑}{𝑥}(𝑔(𝑥))$$

Paso 2: En este ejemplo, tenemos $𝑔(𝑥)=𝑢=12{𝑥}^2+6𝑥-3$, entonces

$𝑓(𝑔(𝑥))=𝑓(𝑢)$

$𝑓(𝑢)=\cos (𝑢)$

Paso 3: Apliquemos ahora la fórmula de la regla de la cadena:

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}𝐻(𝑥)=\frac{𝑑}{𝑑𝑢}(𝑓(𝑢))\cdot \frac{𝑑}{𝑑𝑥}(𝑔(𝑥))$$

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}𝐻(𝑥)=\frac{𝑑}{𝑑𝑢}(\cos (𝑢))\cdot \frac{𝑑}{𝑑𝑥}(12{𝑥}^2+6𝑥-3)$$

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}𝐻(𝑥)=(-\sin (𝑢))\cdot (24𝑥+6)$$

Paso 4: Sustituye la función interna $𝑔(𝑥)=𝑢$ en la ecuación derivada:

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}𝐻(𝑥)=(-\sin (12{𝑥}^2+6𝑥-3))\cdot (24𝑥+6)$$

Paso 5: Simplifica algebraicamente:

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}𝐻(𝑥)=-(24+6)\cdot \sin (12{𝑥}^2+6𝑥-3)$$

$${𝐻}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=\text{–}(24+6)\sin (12{𝑥}^2+6𝑥-3)$$

Las reglas de la cadena y de la potencia combinadas

Ahora podemos aplicar la regla de la cadena a funciones compuestas, pero tenga en cuenta que a menudo necesitamos usarla con otras reglas. Por ejemplo, para encontrar derivadas de funciones de la forma h(x) = (g(x))ⁿ, necesitamos usar la regla de la cadena combinada con la regla de la potencia. Para hacerlo, podemos pensar en h(x)= (g(x))ⁿ como f(g(x)) donde f (x) = xⁿ. Entonces f ′(x) = nxⁿ⁻ ¹. Por lo tanto, f ′(g(x))) = n(g(x))ⁿ⁻ ¹. Esto nos lleva a la derivada de una función potencia usando la regla de la cadena,

Para todos los valores de x para los que se define la derivada, si Entonces

Ejemplo 

Encuentre la derivada de h(x) = 1/(3x² + 1)².

Solución:

Primero, reescribe h(x) = 1/(3x² + 1)² = (3x² + 1)⁻².

Aplicando la regla de la potencia con g(x) = 3x² + 1, tenemos

Reescribir de nuevo a la forma original nos da

Ejemplo 

Encuentre la derivada de h(x) = sen³x.

Solución:

Primero recuerde que sen³x = (senx)³, por lo que podemos reescribir h(x) = sen³x como h(x) = (senx)³.
Aplicando la regla de la potencia con g(x) = senx, obtenemos

teorema 3:

Podemos aplicar la regla de la cadena para derivar una función exponencial con base a si a > 0.

Ejemplo 

 Ejemplo