¿Qué es un límite?
En cálculo, un límite es el valor de y al que se acerca una función a medida que los valores de x se acercan a un número específico. Pero, ¿qué sucede cuando la función no se acerca a ningún valor de y en particular ? En ese caso, solemos decir que el límite no existe. Sin embargo, en algunas situaciones, se puede dar una respuesta más descriptiva. Decimos que f se acerca a ∞ cuando x se acerca a un número c si los valores de f ( x ) se hacen cada vez más grandes sin límite cuando x se acerca a c . La notación para esta situación es:
El límite cuando x se acerca a c es infinito.
Por otro lado, decimos que f se acerca a -∞ cuando x se acerca a c si los valores de f ( x ) se vuelven ilimitados en el sentido negativo (valores negativos cada vez mayores) cuando x se acerca a c . La notación es similar.
El límite cuando x se acerca a c es infinito negativo.
En cualquier situación, se dice que la función tiene un límite infinito en el número x = c .
La presencia de un límite infinito en una función en realidad indica que la función ‘explota’. Es posible que haya escuchado que nada puede viajar más rápido que la velocidad de la luz. Bueno, esto es cierto en parte porque la función que mide la masa y la energía de un objeto con respecto a su velocidad v tiene un límite infinito en el número v = c , donde c en este caso es la velocidad de la luz. El límite infinito nos dice que la masa / energía en realidad se vuelve ilimitada cuando la velocidad se acerca a c ; por tanto, ningún objeto físico puede alcanzar esa velocidad.
Considere la función f ( x ) = 1 / x . ¿Qué sucede con los valores de y cuando x se acerca a 0? El gráfico muestra una asíntota vertical en x = 0, lo cual es una buena indicación de que estamos tratando con un límite infinito. La función parece dispararse en la parte superior del gráfico cuando x se acerca a 0 desde la derecha; eso significa que el límite de f es ∞ cuando x → 0 desde la derecha. La gráfica cae en la parte inferior de la gráfica cuando x se acerca a 0 desde la izquierda, por lo que el límite de f es -∞ cuando x → 0 desde la izquierda.
Construyamos una tabla de valores para ilustrar este comportamiento de manera más concreta.
| X (A La Derecha De 0) | F ( X ) = 1 / X | X (Izquierda De 0) | F ( X ) = 1 / X |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | -1 | -1 |
| 1/2 | 2 | -1/2 | -2 |
| 1/4 | 4 | -1/4 | -4 |
| 1/8 | 8 | -1/8 | -8 |
| 0,01 | 100 | -0,01 | -100 |
| 0.000 001 | 1.000.000 | -0.000 001 | -1.000.000 |
Observe cómo los valores de y que se muestran en la segunda columna continúan aumentando sin límite (100; 1,000,000; etc.), y los valores de y que se muestran en la cuarta columna disminuyen sin límite (-100; -1,000,000; etc.). Algunos de los puntos de la tabla están representados en el gráfico de la ilustración. Trace con el dedo sobre el gráfico comenzando en el punto (1,1). A medida que traza hacia la izquierda, permaneciendo siempre en el gráfico, eventualmente llega a la parte superior. El gráfico en realidad va hacia arriba más allá de lo que se muestra, ¡y nunca se detiene! Ésta es la esencia de un límite infinito.
Según la tabla (o el gráfico), concluimos que:
Evaluación de límites infinitos
Tenemos una forma rápida de calcular límites infinitos, pero solo funciona para funciones que parecen fracciones. Es decir, un límite cuando x → c (desde la derecha o desde la izquierda) de p ( x ) / q ( x ). (Para otras situaciones, es posible que desee utilizar una gráfica o una tabla de valores).
- Primero intente conectar x = c . Si el resultado es un valor distinto de cero dividido por cero, entonces sabe que el límite debe ser infinito (o, a veces, no existe en absoluto). Si el límite no tiene el formato distinto de cero / cero, deténgase; este método no se aplica.
- Si el límite es uno en el que x → c desde la izquierda, elija un número un poco menor que c . Si el límite es uno en el que x → c desde la derecha, elija un número un poco mayor que c .
- Sustituye x por tu número . Si el resultado es positivo, entonces el valor límite es probablemente infinito positivo (∞). Si el resultado es negativo, entonces el valor límite es probablemente infinito negativo (-∞). Para estar 100% seguro, ingrese números aún más cerca de cy asegúrese de que los resultados sean ilimitados y continúen con el signo correcto.
Ejemplo
Encuentra los límites:
(a) Primero sustituya x = 2. El valor es: (1 – 2) / (3 (2) – 6) = -1/0, un límite distinto de cero / cero, que nos dice que el límite es infinito. Dado que x se acerca a 2 por la derecha (recuerde, eso es lo que significa el pequeño símbolo + en el 2), elija un valor mayor que, pero muy cercano a 2, como x = 2.01. Conectando a la función, obtenemos (1 – 2.01) / (3 (2.01) – 6) = -33.7 <0, entonces el límite es -∞.
(b) Ya sabemos que este es un límite infinito del inciso (a), sin embargo, esta vez x se acerca a 2 por la izquierda. Elija x = 1,99. Obtenemos (1 – 1.99) / (3 (1.99) – 6) = 33> 0, por lo que el límite es ∞.
(En ambos casos, deberías comprobar tu trabajo introduciendo números incluso más cercanos al 2 desde la derecha o desde la izquierda. Te dejo este paso).
LEYES DE LOS INFINITOS
Las leyes se aplican de igual manera a excepción de las leyes 8, 9 y 10 donde hacemos la sustitución de a por ∞ o − ∞.
Si n es un entero positivo, entonces:
ejemplo
investiguemos el comportamiento del siguiente problema:
Resumen
Como x → c , si los valores de una función se hacen cada vez más grandes sin límite en el sentido positivo o negativo, entonces la función tiene un límite infinito en c . Usa una gráfica o una tabla de números para decidir si la función tiene un límite infinito y si es ∞ o -∞. Si el límite tiene la forma diferente de cero / cero, entonces determine el signo del límite (∞ o -∞) sustituyendo números muy cercanos a c .