Límites

 Problema de la tangente

El problema de la tangente es un concepto en cálculo que se refiere a encontrar la pendiente de la tangente a una curva en un punto dado. Esto se resuelve usando límites para calcular la derivada de la función en ese punto. La derivada representa la tasa de cambio instantánea y la pendiente de la tangente a la curva.

La palabra tangente se deriva de la palabra latina tangens, la cual significa tocar. De este modo una tangente es una recta que toca a una curva. Para un círculo, podríamos seguir la idea de Euclides y decir que una tangente es una recta que intersecta ese círculo una vez y sólo una vez. Para curvas más complicadas, está definición es inadecuada.

La figura de la izquierda es un ejemplo de la recta tangente. En la figura de la derecha se muestran dos rectas que pasan por el punto P de una curva C, la recta l interseca C solo una vez, pero es evidente que no tiene las propiedades de una recta tangente. Por otro lado, la recta t parece una tangente, pero interseca C dos veces.

Límites de una función 

El límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático aplicado a las funciones. En particular, el concepto aplica en análisis real al estudio de límites, continuidad y derivabilidad de las funciones reales. Intuitivamente, el hecho de que una función f alcance un límite L en un punto C significa que, tomando puntos suficientemente próximos a C, el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee. La cercanía de los valores de f y L no depende del valor que adquiere f en dicho punto C.

Y decimos “el límite de f(x), cuando x tiende a a, es igual a L“, si podemos acercar arbitrariamente los valores de f(x) a L tanto como deseemos escogiendo una x lo bastante cerca de a, pero nunca igual a a.

Límites laterales 

Y decimos que, el límite de f(x) cuando x se acerca a a desde la izquierda es igual L, o también, el límite de f(x) cuando x se acerca a a desde la derecha es igual L, si podemos aproximar los valores de f(x) a L tanto como queramos, escogiendo una x lo bastante cerca de a, pero menor que a.

Leyes de los límites 

Ejemplos 

Limite de  una constante

El límite de una constante es el valor de dicha constante, sin importar el valor al cual tienen la variable: 

Ejemplo

calcular:

solución 

Límite de la función identidad 

si f(x)=x, se cumple siempre que:

Ejemplo 

calcular:

solución 

Limite del Producto de una constante por una función 

En este caso, la constante sale fuera del limite y pasa a multiplicarlo así: 

Ejemplo

Calcular, si existe, el siguiente límite:

solución 

la constante 5 queda fuera multiplicando al límite y se aplica la propiedad de suputación: 

Límite de la suma 

El límite de la suma de dos funciones f y g es la suma de los límites: 

Ejemplo

Encontrar el siguiente límite si existe: 

Solución
Se aplica primero la propiedad de la suma de los límites y después la de sustitución directa, ya que las operaciones no presentan dificultad: 

Limite de la resta 

En el caso del límite de la resta de dos funciones, se procede de manera análoga que para la suma: el límite de la resta es la resta de los límites: 

Ejemplo

Calcular el siguiente límite: 

solución 
Se aplica la propiedad límite de la resta de dos funciones y después la de sustitución directa, puesto que todas las operaciones se pueden realizar sin problema:

Límite del producto 

El límite del producto de dos funciones f y g es el producto de los límites: 

Ejemplo
Calcular este límite: 

Solución 

Límite del cociente 

El límite del cociente de dos funciones f y g es el cociente de los límites, siempre que el límite de g(x) cuando x->c sea diferente de O, ya que la división por O no está definida. 
Entonces: 

Ejemplo

Calcular, si existe, el valor del siguiente límite:

Ahora se aplica la propiedad de sustitución para encontrar cada límite: 

y dado que   B ≠0,  el límite buscado es el cociente A/B:

Limite de una potencia 

El límite de una potencia de exponente n, equivale al límite elevado a la dicha potencia, de la siguiente manera: 

Caso 1: límite de una potencia de x

si se tiene, por ejemplo, el límite de una potencia de x, resulta: 

De acuerdo a la propiedad 4, este límite es: 

Caso 2:   límite de una raíz 
Una raíz n-ésima se puede escribir en forma de exponente fraccionario, de allí que: 

Importante: si el índice de la raíz es par, es necesario que el límite de f(x) cuando x-> c sea mayor o igual a 0, ya que no existe raíces reales pares de cantidades negativas. 
Ejemplo 
Determinar, aplicado las a propiedades anteriores, los siguientes límites si es que existen: 

Solución de a

Mediante la propiedad del límite de una potencia y de sustitución directa se obtiene: 

Solución de b

Límite de una exponencial 

Para encontrar el límite de una exponencial de base b y exponente f(x), hay que elevar la base al límite de la función f(x) del siguiente modo:

Ejemplo
Hallar si es que existe, el siguiente límite:

Solución 
En este límite la base es el número e y la función f(x) =  x2, por lo tanto hay que calcular primero el limite de  x2 cuando x tiende a 1:

Luego se aplica la propiedad del límite de la exponencial: 

Límite de la función potencial exponencial 

El límite cuando x-> c de una función f(x), que a su vez está elevado a otra función g(x) se expresa mediante:

Ejemplo 

Calcular el siguiente límite, si existe: 

solución 
para aplicar la propiedad anterior, primeramente se identifican f(x) =x-1 y g(x) = 2x y luego se calculan los límites respectivos: 

Racionalización 

La racionalización es un proceso algebraico que consiste en eliminar raíces (radicales) del denominador de una fracción. Se logra multiplicando el numerador y el denominador por una expresión adecuada que convierta el denominador en un número racional.
ejemplo: 

Paso 1:

Evaluamos el {imite para ver si el límite se determina o no: 

comprobamos que el límite se indetermina. 

Paso 2: 

Racionalizamos el denominador, y después dividimos los factores comunes. 

 Multiplicando por el conjugado 

Esto daría como resultado. 

paso 3: 

Evaluando el límite: 

Respuesta: 

Continuidad 

La continuidad de funciones, intuitivamente, es fácil captar el concepto de continuidad. En términos sencillos, puede decirse que una función real de variable real es continua en un intervalo cuando

se puede dibujar sobre el papel a lo largo de dicho intervalo sin levantar el lápiz.

Ejemplo de función continua F(x)=x^3 Grafica:

Ejemplo de función no continua f(x) = 1/x. 
Gráfica: 

Definición formal 

La función $f$ es continua en el punto $c$ si

$$\underset{x\to c}{lim}f\left(x\right)=f\left(c\right)$$

La función $f$ es continua si es continua en todos los puntos.

Por ejemplo, la función $f\left(x\right)=1/x$ no es continua en $x=0$ porque no existe $f\left(0\right)$.

Observaciones:

En realidad, para hablar de continuidad en un punto $a$, debería ser indispensable que el punto $a$ pertenezca al dominio de la función.

Por ejemplo, el dominio de $f\left(x\right)=1/x$ es $R-\left\{0\right\}$ y la función es continua en su dominio. Sin embargo, no existe el límite de $f\left(x\right)$ cuando $x\to 0$ ni existe $f\left(0\right)$, por lo que decimos que $f$ no es continua en $x=0$.

Como normalmente consideramos a todas las funciones como $f:R\to R$, tenemos que calcular primero el dominio de la función y, después, la continuidad en el dominio.

Los tipos siguientes de funciones son Continuos en todo número en sus dominios: 

➢Polinomios.

➢Funciones Racionales.

➢Funciones raíz.

➢Funciones Trigonométricas.

➢Funciones Trigonométricas

Inversas.

➢Funcione Exponenciales.

➢Funciones Logarítmicas.