En el cálculo diferencial, existe la diferenciación explícita, donde se calcula la derivada de una función cuando la variable dependiente está explícitamente despejada en términos de la variable independiente. Sin embargo, en algunos casos, las ecuaciones no se pueden despejar de manera explícita y la variable dependiente está implícitamente definida en términos de la variable independiente. En estos casos, se emplea la diferenciación implícita para calcular la derivada de estas funciones.
La derivada implícita es una herramienta fundamental en el campo del análisis matemático y tiene numerosas aplicaciones en áreas como la física, la economía y la ingeniería. En este artículo, exploraremos en detalle qué son las derivadas implícitas, cómo se calculan y cómo se aplican en problemas prácticos
Ejemplos de funciones explícitas e implícitas
Antes de adentrarnos en los detalles de las derivadas implícitas, es importante comprender la diferencia entre las funciones explícitas e implícitas.
Una función explícita se define cuando la variable dependiente está expresada de forma explícita en términos de la variable independiente. Por ejemplo, la función $y = 2x^2 + 3x + 1$ es una función explícita, ya que la variable dependiente $y$ se puede despejar fácilmente en términos de la variable independiente $x$.
En contraste, una función implícita está definida cuando la variable dependiente no está despejada en términos de la variable independiente. Por ejemplo, la ecuación $x^2 + y^2 = 25$ representa una circunferencia de radio 5 con centro en el origen. En este caso, la variable dependiente $y$ no se puede despejar de manera explícita, lo que hace que la ecuación sea implícita.
La diferenciación explícita se aplica directamente a funciones explícitas, mientras que la diferenciación implícita se utiliza cuando la variable dependiente está implícitamente definida. A continuación, exploraremos cómo calcular derivadas implícitas y cómo se aplican en diferentes situaciones.
Ejercicios
Ejercicio 1
Hallar la derivada de esta función, planteada en forma implícita:
Esta función es de las que se puede transformar fácilmente en forma explícita despejando la variable y, agrupando los términos en y, sacando factor común y despejandola:
Y ya podemos derivar normalmente esta función, ahora explícita, en este caso con lo expuesto en la derivada de un cociente de funciones:
Ejercicio 2
Hallar la derivada de esta función, planteada en forma implícita:
Recordemos que y se considera función de x. Y tenemos las dos variables metidas en el argumento del seno.
Busquemos las derivadas de los dos términos de la ecuación:
En el segundo término tenemos que aplicar la regla de la cadena, teniendo en cuenta que le tenemos que aplicar también la derivada del producto al interior del argumento trigonométrico:
Agrupamos a una parte de la igualdad los términos con y’ del que sacamos factor común:
Despejamos y’ y tenemos la derivada de la función implícita buscada:
