Introducción a la Derivad
En matemáticas, la derivada de una función es una herramienta fundamental para analizar cómo cambia dicha función respecto a su variable independiente. La derivada proporciona una medida precisa de la rapidez de cambio o la tasa de variación de la función en un punto específico.
La derivada es una herramienta poderosa que permite comprender y cuantificar cómo las funciones cambian en un punto específico. Su uso se extiende a diversas áreas, proporcionando una base esencial para el análisis y la resolución de problemas en matemáticas aplicadas y otras disciplinas científicas.
Teorema:
• La derivada es el límite de un cociente de dos cantidades infinitesimales. El numerador
mide la variación de la variable dependiente (la
f (x)
) cuando la variable independiente (la x)
pasa de a a a + h. El cociente mide la tasa de variación media de una variable respecto a la
otra. Cuando se impone que la variable independiente varíe una cantidad infinitesimal (eso
indica que h → 0), lo que se está calculando es la tasa de variación instantánea de la función
f (x)
en un punto determinado. Esto es, qué le pasa a
f (x)
cuando varía x en los alrededores
de un punto a.
Teorema:
Una función f es diferenciable en a si f’(a) existe. Es diferenciable en un intervalo abierto (a, b), si es diferenciable en todo número del intervalo.
Si f es diferenciable en a, entonces f es continua en a.
Notaciones:
Si usamos la notación tradicional y = f(x) para indicar que la variable independiente es x y la variable dependiente es y, entonces algunas notaciones alternativas comunes para la derivada son:
Los símbolos D y d/dx se denominan operadores diferenciales porque indican la operación de derivación, que es el proceso de calcular una derivada.
¿Cómo deja de ser diferenciable una función?
En general, si la gráfica de una función tiene esquinas o retorcimientos, la gráfica de f no tiene tangentes en esos puntos y f no es diferenciable allí. Al intentar calcular f’(a), encontramos que los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes.
La segunda derivada
Si f es una función derivable, entonces su derivada f’ también es una función, por lo tanto, f’ puede tener una derivada, denota con (f’)’ = f’’. Esta nueva función se llama segunda derivada de f, porque es la derivada de la derivada de f. La tercera derivada f’’’ es la derivada de la segunda derivada. De este modo, la tercera derivada se puede interpretar como la pendiente de la curva o como la razón de cambio. Y el proceso puede continuar.
Notación de Leibniz
En cálculo, la notación de Leibniz, llamada así en el siglo XVII en honor del filósofo alemán Gottfried Wilhelm Leibniz. Utiliza los símbolos dx y dy para representar un crecimiento infinitesimal de x y de y, tal y como, delta x y delta y que representan crecimientos finitos de x y de y.
¿Qué dice f’ acerca de f?
Si f ‘(x)> 0 en un intervalo, entonces f es creciente en ese intervalo.
Si f ‘(x)< 0 en un intervalo, entonces f es decreciente en ese intervalo.
¿Qué dice f’’ acerca de f?
Si f ‘’(x)> 0 en un intervalo, entonces f es cóncava hacia arriba en ese intervalo.
Si f ‘‘(x)< 0 en un intervalo, entonces f es cóncava hacia abajo en ese intervalo.
Reglas de la derivación
Ejemplos
Regla de la Suma
Regla de la Resta
No tiene que ser siempre x, podemos diferenciar con respecto a, por ejemplo, v:
