Reglas de derivación

 REGLA DEL PRODUCTO

En palabras, la regla del producto expresa que la derivada de un producto de dos funciones es, ”la primera función multiplicada por la derivada de la segunda función, más la segunda función multiplicada por la derivada de la primera función”

.Esto nos da la fórmula de la regla del producto como:

$(𝑓𝑔{)}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=𝑓(𝑥)\cdot {𝑔}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)+𝑔(𝑥)\cdot {𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)$

o en una forma más corta, se puede ilustrar como:

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}(𝑢𝑣)=𝑢𝑣\text{’}+𝑣𝑢\text{’}$$

en donde

• $𝑢=𝑓(𝑥)$ o el primer multiplicando en el problema dado
• $𝑣=𝑔(𝑥)$ o el segundo multiplicando en el problema dado

Puedes usar cualquiera de estas dos formas de la fórmula de la regla del producto según tus preferencias.

Usamos esta fórmula para derivar funciones que tienen la siguiente forma:

$𝑓𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)\cdot 𝑔(𝑥)$

o

$𝐹(𝑥)=𝑢𝑣$

donde $𝑓(𝑥)$ o $𝑢$ es el primer multiplicando mientras que $𝑔(𝑥)$ o $𝑣$ es el segundo multiplicando del problema dado.

Regla del producto de derivadas 

EJERCICIO 1

Encuentra la derivada de la siguiente función:

$𝑓(𝑥)=\sqrt[5]{{𝑥}^3}\cdot ({𝑥}^5+3{𝑥}^2\text{–}4𝑥)$

Solución

Lo primero que debemos hacer es escribir la fórmula de la regla del producto para nuestra referencia:

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}(𝑢𝑣)=𝑢𝑣\text{’}+𝑣𝑢\text{’}$$

Tenemos dos multiplicandos en la función dada f(x). El primer multiplicando es $\sqrt[5]{{𝑥}^3}$ y el otro es $({𝑥}^5+3{𝑥}^2\text{–}4𝑥)$.

Por lo tanto, tenemos

$𝑢=\sqrt[5]{{𝑥}^3}$
$𝑣=({𝑥}^5+3{𝑥}^2\text{–}4𝑥)$
$𝑓(𝑥)=𝑢𝑣$

Ahora, podemos usar la fórmula de la regla del producto para derivar nuestro problema dado:

${𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=𝑢𝑣\text{’}+𝑣𝑢\text{’}$

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}𝑓(𝑥)=𝑢\cdot \frac{𝑑}{𝑑𝑥}(𝑣)+𝑣\cdot \frac{𝑑}{𝑑𝑥}(𝑢)$$

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}𝑓(𝑥)=(\sqrt[5]{{𝑥}^3})\cdot \frac{𝑑}{𝑑𝑥}({𝑥}^5+3{𝑥}^2\text{–}4𝑥)+({𝑥}^5+3{𝑥}^2\text{–}4𝑥)\cdot \frac{𝑑}{𝑑𝑥}(\sqrt[5]{{𝑥}^3})$$

Para cualquier radical, es recomendable reescribirlos en forma de exponente fraccionario:

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}𝑓(𝑥)=({𝑥}^3{)}^{\frac{1}{5}}\cdot \frac{𝑑}{𝑑𝑥}({𝑥}^5+3{𝑥}^2\text{–}4𝑥)+({𝑥}^5+3{𝑥}^2\text{–}4𝑥)\cdot \frac{𝑑}{𝑑𝑥}(({𝑥}^3{)}^{\frac{1}{5}})$$

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}𝑓(𝑥)=({𝑥}^3{)}^{\frac{1}{5}}\cdot (5{𝑥}^4+6𝑥\text{–}4)+({𝑥}^5+3{𝑥}^2\text{–}4𝑥)\cdot (\frac{1}{5}\cdot ({𝑥}^3{)}^{-\frac{4}{5}}\cdot 3{𝑥}^2)$$

Simplificando algebraicamente, obtenemos

$${𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)={𝑥}^{\frac{3}{5}}\cdot (5{𝑥}^4+6𝑥\text{–}4)+({𝑥}^5+3{𝑥}^2\text{–}4𝑥)\cdot (\frac{3}{5}{𝑥}^{-\frac{2}{5}})$$

$${𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=5{𝑥}^{\frac{23}{5}}+6{𝑥}^{\frac{8}{5}}\text{–}4{𝑥}^{\frac{3}{5}}+\frac{3}{5}{𝑥}^{\frac{23}{5}}+\frac{9}{5}{𝑥}^{\frac{8}{5}}\text{–}\frac{12}{5}{𝑥}^{\frac{3}{5}}$$

$${𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=\frac{28}{5}{𝑥}^{\frac{23}{5}}+\frac{39}{5}{𝑥}^{\frac{8}{5}}\text{–}\frac{32}{5}{𝑥}^{\frac{3}{5}}$$

Y la respuesta final es:

$${𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=\frac{28{𝑥}^{\frac{23}{5}}+39{𝑥}^{\frac{8}{5}}\text{–}32{𝑥}^{\frac{3}{5}}}{5}$$

O en forma radical,

$${𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=\frac{28\sqrt[5]{{𝑥}^{23}}+39\sqrt[5]{{𝑥}^8}\text{–}32\sqrt[5]{{𝑥}^3}}{5}$$

Ejemplo 2

Una compañía telefónica desea estimar el número de nuevas líneas de teléfonos residenciales que necesita instalar durante el mes venidero. A principios de enero, la compañía tenía 100,000 suscriptores cada uno en promedio con 1.2 líneas telefónicas. La compañía estima que sus suscriptores estaban aumentando a razón de 1,000 mensuales. Al hacer un escrutinio entre sus suscriptores existentes, halló que cada uno pretendía instalar un promedio de 0.01 líneas telefónicas nuevas para fines de enero. Estime el número de líneas que la compañía tendrá que instalar en enero.

Sean s(t) los suscriptores y n(t) la cantidad de líneas telefónicas por suscriptor en el tiempo, entonces el número total de líneas se expresa por:

Resumen de la regla del cociente

La regla del cociente es una fórmula muy útil para derivar cocientes de funciones. Es una regla que establece que la derivada de un cociente de dos funciones es igual a la función en el denominador g(x) multiplicada por la derivada del numerador f(x) restada al numerador f(x) multiplicada por la derivada del denominador g(x), todo dividido por el cuadrado del denominador g(x).

Esto nos da la fórmula de la regla del cociente como:

$${\left(\frac{𝑓}{𝑔}\right)}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=\frac{𝑔(𝑥)\cdot {𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)\text{–}𝑓(𝑥)\cdot {𝑔}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)}{(𝑔(𝑥){)}^2}$$

o en una forma más corta, se puede ilustrar como:

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}\left(\frac{𝑢}{𝑣}\right)=\frac{𝑣𝑢\text{’}\text{–}𝑢𝑣\text{’}}{{𝑣}^2}$$

donde $𝑢=𝑓(𝑥)$ es el numerador/dividendo del problema dado y $𝑣=𝑔(𝑥)$ es el denominador/divisor del problema dado.

Puedes usar cualquiera de estas dos formas de la fórmula de la regla del producto según tus preferencias.

Usamos esta fórmula para derivar funciones que tienen la siguiente forma:

$$\frac{𝑓}{𝑔}(𝑥)=\frac{𝑓(𝑥)}{𝑔(𝑥)}$$

o

$$𝐹(𝑥)=\frac{𝑢}{𝑣}$$

donde $𝑓(𝑥)$ o $𝑢$ es el numerador/dividendo mientras que $𝑔(𝑥)$ y $𝑣$ es el denominador/divisor del problema dado.

Ejemplo
Deriva lo siguiente:

$$𝑓(𝑥)=\frac{{𝑥}^3}{𝑥-5}$$

Solución

Tenemos ${𝑥}^3$ como numerador/dividendo y $𝑥-5$ como denominador/divisor.

Con base en la fórmula de la regla del cociente, $𝑢$ es el numerador y $𝑣$ es el denominador. Por lo tanto, tenemos

$𝑢={𝑥}^3$
$𝑣=𝑥-5$
$𝑓(𝑥)=\frac{𝑢}{𝑣}$

A continuación, derivamos $𝑢$ y $𝑣$ individualmente y luego sustituyamos por la fórmula de la regla del cociente más adelante:

$𝑢={𝑥}^3$
$𝑢\text{’}=3{𝑥}^2$

$𝑣=𝑥-5$
$𝑣\text{’}=1$

Al sustituir $𝑢$, $𝑣$, $𝑢\text{’}$ y $𝑣\text{’}$ en la fórmula de la regla del cociente, tenemos:

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}(\frac{𝑢}{𝑣})=\frac{𝑣𝑢\text{’}-𝑢𝑣\text{’}}{{𝑣}^2}$$

$$\frac{𝑑}{𝑑𝑥}𝑓(𝑥)=\frac{(𝑥-5)\cdot (3{𝑥}^2)\text{–}({𝑥}^3)\cdot (1)}{(𝑥-5{)}^2}$$

Simplificando algebraicamente, obtenemos

$${𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=\frac{(3{𝑥}^3\text{–}15{𝑥}^2)\text{–}({𝑥}^3)}{({𝑥}^2-10𝑥+25)}$$

Y la respuesta final es:

$${𝑓}^{\mathrm{\prime }}(𝑥)=\frac{2{𝑥}^3\text{–}15{𝑥}^2}{{𝑥}^2-10𝑥+25}$$

Funciones trigonométricas

En particular, es importante recordar que cuando hablamos de la función f defínida para todos los números reales x por f x = sin x,

radianes es x. Una convención similar se cumple para las otras funciones trigonométricas de cos, tan, csc, sec y cot. Recuerde que todaslas funciones trigonométricas son continuas en todo número en sus dominios.

Derivada de funciones trigonométricas

EJERCICIO 1

Encuentra la derivada de $𝑦=\sin (5𝑥)$.

Solución

Podemos usar la regla de la cadena con $𝑢=5𝑥$. Entonces, tenemos:

$𝑦=\sin (𝑢)$ y $𝑢=5𝑥$

sus derivadas son:

${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑢}}=\cos (𝑢)$ y ${\displaystyle \frac{𝑑𝑢}{𝑑𝑥}}=5$

Ahora, aplicamos la regla de la cadena:

$$\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}=\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑢}\frac{𝑑𝑢}{𝑑𝑥}=\cos (𝑢)\times 5$$

$$\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}=5\cos (5𝑥)$$

Generalmente, escribimos de la siguiente forma para encontrar la respuesta más rápido:

$$\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}=\cos (5𝑥)\times (5𝑥{)}^{\mathrm{\prime }}=5\cos (5𝑥)$$

EJERCICIO 2

Encuentra la derivada de $𝑦={\cos }^2(𝑥)$.

Solución

Podemos empezar escribiendo como $(\cos (𝑥){)}^2$. Luego, tenemos:

$𝑦={𝑢}^2$ y $𝑢=\cos (𝑥)$

Las derivadas son:

${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑢}}=2𝑢$ y ${\displaystyle \frac{𝑑𝑢}{𝑑𝑥}}=-\sin (𝑥)$

Usando la regla de la cadena, tenemos:

$$\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}=\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑢}\frac{𝑑𝑢}{𝑑𝑥}=2𝑢(-\sin (𝑥))$$

$$\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}=-2\cos (𝑥)\sin (𝑥)$$

Generalmente, escribimos de la siguiente forma para encontrar la respuesta más rápido:

$$\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}=2\cos (𝑥)\times (\cos (𝑥){)}^{\mathrm{\prime }}=-2\cos (𝑥)\sin (𝑥)$$

EJERCICIO 3

Encuentra las derivadas de las siguientes funciones:

a) $𝑦=\sin ({𝑥}^2+2)$ b) $𝑦=\cos (\sqrt{𝑥})$

Solución

a) Cuando $𝑦=\sin ({𝑥}^2+2)$, tenemos:

$$\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}=\cos ({𝑥}^2+2)\times ({𝑥}^2+2{)}^{\mathrm{\prime }}$$

$$\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}=2𝑥\cos ({𝑥}^2+2)$$

b) Cuando $𝑦=\cos (\sqrt{𝑥})$, tenemos:

$$\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}=-\sin (\sqrt{𝑥})\times (\sqrt{𝑥}{)}^{\mathrm{\prime }}$$

$$\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}=-\frac{1}{2\sqrt{𝑥}}\sin (\sqrt{𝑥})$$