PROBLEMAS DE OPTIMIZACION ~ Calculo

INTRODUCCION

Los métodos para hallar valores extremos tiene aplicaciones practicas en muchas áreas de la vida. Una persona de negocios quiere minimizar los costos y maximizar las utilidades. En esta sección resolveremos problemas como los de maximizar áreas, volúmenes y utilidades, y minimizar distancias, tiempos y costos.

En la solución de estos problemas prácticos, el desafío mas grande suele ser convertir el problema en palabras, en un problema matemático de optimización, estableces la función que debe maximizar o minimizarse.

VALORES MAXIMOS Y MINIMOS

Algunas de las aplicaciones mas importantes del calculo diferencial son los problemas de optimización, en los cuales se nos pide la manera optima de hacer algo. Estos problemas se pueden reducir a encontrar los valores máximos o mínimos de una función.

DEFINICION

Una función f tiene un máximo absoluto (o máximo global) en c si f(c)> f(x) para todo x en D, donde D es el dominio de f. El numero f(c) se llama valor máximo de f en D. De manera análoga, f tiene un mínimo absoluto en c si f(d )< f(x) para todo x en D; el numero f(c) se denomina valor mínimo de f en D. Los valores máximos y mínimos de f se conocen como valores extremos de f.

En la siguiente figura, se muestra la grafica de una función f con máximo absoluto en d y mínimo absoluto en a. Note que (d,f(a)) es el mas alto de la grafica y (a,f(a)) es el mas bajo.

DEFINICION 2:

Una función f posee un máximo local (o máximo relativo) en c si f(c) > f(x) cuando x esta cercano a c (esto significa que f(c) > f(x) para todo x en algún intervalo abierto que contiene a c). De manera análoga, f tiene un mínimo local en c si f(c)< f(x), cuando x esta cerca de c.

En la siguiente figura, se muestra la grafica de una función f con minomo local en I y mínimo local y absoluto en K. Análogamente, J es el máximo local pero no el es máximo absoluto.

PASOS PARA LA SOLUCION DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACION

1) 1). Comprenda el problema

2) 2). Dibuje un diagrama.

3) 3). Introduzca la notación.

4) 4). Exprese Q en términos de algunos de los otros símbolos del paso anterior.

5) 5). Si Q se ha expresado como función de mas de una variable, utilice información dada para hallar relaciones entre estas variables.

6) 6). Aplique los métodos conocidos.

Ejemplo 1:

Un granjero tiene 2,400 m de cerca y desea cercar un campo rectangular que limita con un rio recto. No necesita cerca a lo largo del rio. ¿Cuáles son las dimensiones del campo que tiene el área mas grande?