INTEGRAL ~ Calculo

INTRODUCCION

La integración es un concepto fundamental del calculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. El calculo integral, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivacion. Es muy común en la ingeniería y se utiliza principalmente para el calculo de áreas y volúmenes de regiones y solidos de revolución. Los trabajos del Isaac Barrow y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del calculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

EL PROBLEMA DEL AREA

Empecemos por intetar resolver el problema del área de la región S que esta debajo de la curva y=f(x), desde a hasta b.

Al intentar resolver el problema del área, este problema es fácil de responder para regiones con lados rectos. Para el área de un rectángulo, de un triangulo o de un polígono. Sin embargo, no es fácil hallar el área con lados curvos. Todos tenemos una idea intuitiva de lo que es área de una región y parte del problema es hacer que esta idea sea dando una definición exacta.

Recuerde que, al definir una tangente, primero obtuvimos una aproximación de la pendiente de la recta tangente por las pendientes de rectas secantes y tomamos el limite de estas aproximaciones. Seguiremos una idea similar para las áreas. En primer lugar, obtendremos una aproximación de la región S por medios de rectángulos y después tomaremos el limite de las áreas de estos rectángulos.

TEOREMA

El área A de la región S que se encuentra debajo de la grafica de la función continua f es el limite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación.

A menudo usamos la notación sigma para escribir de manera mas compacta las sumas con muchos términos.

Si f es una función continua definida para a< x < b, dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos del igual ancho = (b - a)/n. Hacemos que xo(=a), x1,x2,x3…. Xn(=b) sean los puntos extremos de estos subintervalos y elegimos los puntos muestras x1*,x2*,x3*…xn* en estos subintervalos, de modo que xi* se encuentra en el i-esimo intervalo. Entonces la integral definida de f, desde a hasta b, es:

NOTA:

Leibniz introdujo el símbolo y se llama signo de integral. Es un S alargada y se eligió debido a que una integral es un limite de sumas. La sumatoria que se representa en el teorema se llama suma de Riemann, en honor del matemático alemán Bernhard Riemann.